Distribución Hipergeométrica

Definición:

La distribución hipergeométrica es una distribución discreta que modela el número de eventos en una muestra de tamaño fijo cuando usted conoce el número total de elementos en la población de la cual proviene la muestra. Cada elemento de la muestra tiene dos resultados posibles (es un evento o un no evento). Las muestras no tienen reemplazo, por lo que cada elemento de la muestra es diferente. Cuando se elige un elemento de la población, no se puede volver a elegir. Por lo tanto, la probabilidad de que un elemento sea seleccionado aumenta con cada ensayo, presuponiendo que aún no haya sido seleccionado.

¿Cómo usarla?:

Utilice la distribución hipergeométrica para muestras obtenidas de poblaciones relativamente pequeñas, sin reemplazo. Por ejemplo, la distribución hipergeométrica se utiliza en la prueba exacta de Fisher para probar la diferencia entre dos proporciones y en muestreos de aceptación por atributos cuando se toman muestras de un lote aislado de tamaño finito.

La distribución hipergeométrica se define por 3 parámetros: tamaño de la población, conteo de eventos en la población y tamaño de la muestra.

Por ejemplo, usted recibe un envío de pedido especial de 500 etiquetas. Supongamos que el 2% de las etiquetas es defectuoso. El conteo de eventos en la población es de 10 (0.02 * 500). Usted toma una muestra de 40 etiquetas y desea determinar la probabilidad de que haya 3 o más etiquetas defectuosas en esa muestra. La probabilidad de que haya 3 o más etiquetas defectuosas en la muestra es de 0.0384.

Ejemplo:

Supongamos que hay diez automóviles disponibles para que usted los pruebe (N = 10) y cinco de ellos tienen motores turbo (x = 5). Si prueba tres de los vehículos (n = 3), ¿cuál es la probabilidad de que dos de los tres que probará tengan motores turbo?

1. Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > Hipergeométrica.
2. Elija Probabilidad.
3. En Tamaño de la población (N), ingrese 10. En Conteo de eventos en la población (M), ingrese 5. En Tamaño de la muestra (n), ingrese 3.
4. Elija Constante de entrada e ingrese 2.
5. Haga clic en Aceptar.

La probabilidad de que seleccione exactamente dos automóviles con motores turbo de forma aleatoria cuando pruebe tres de los diez vehículos es 41.67%.

a continuación un vídeo que puede ayudar a comprender mejor el tema:

Cuadro comparativo de las distribuciones

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.

Definición:

Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento.

Cuando usted realiza un experimento que solo tiene dos resultados posibles, la distribución geométrica es una distribución discreta que puede modelar el número de ensayos consecutivos necesarios para observar el resultado de interés por primera vez. La distribución geométrica también puede modelar el número de no eventos que ocurren antes de que se observe el primer resultado.

Por ejemplo, una distribución geométrica puede modelar el número de veces que se debe lanzar al aire una moneda para obtener el primer resultado de "cara". De manera similar, si se trata de productos construidos en una línea de ensamble, la distribución geométrica puede modelar el número de unidades producidas antes de que se produzca la primera unidad defectuosa. La siguiente gráfica representa una distribución geométrica con probabilidad de evento de 0.5.

¿como llevarlo a cabo?:

Hemos visto que si se tira una moneda (con p = P(cruz)) n veces, entonces el n´umero de cruces se distribuye como binomial. Consideramos otro experimento relacionado. Vamos a seguir tirando la moneda hasta que veamos la primera cruz ?Cu´antas tiradas necesitamos? Sea X el n´umero de tiradas. Luego P(X = 1) = p P(X = 2) = (1 − p)p P(X = 3) = (1 − p) 2 p ... = ... P(X = x) = (1 − p) x−1 p La distribución de X se llama la distribución geométrica.

Ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de que Ronaldo marque por primera vez en su quinto penalti? 

¿Cuál es el n´umero esperado de penaltis que necesita para marcar? 

Sea X el n´umero de penaltis que necesita para marcar su primer gol. Luego X ∼ G(0,8).

P(X = 5) = 0,2 4 × 0,8 = ,00128 

La esperanza de X es 1/0,8 = 1,2 penaltis.

Distribución de Poisson:

Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña.

Como llevarlo a cabo:

-Se define la variable aleatoria X como el número de sucesos que ocurren en un intervalo continuo de tiempo, longitud o espacio, de un tamaño determinado.

-Sea el número medio de sucesos que ocurren en estos intervalos.

-La variable aleatoria así definida sigue una distribución de Poisson de parámetro λ.

 La media y la varianza:

la media:

La varianza: 

Ejemplo:

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a)      x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

l = 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718     

       

b)

x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que  llegan al banco en dos días consecutivos

Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

a continuación un vídeo que podría ayudar a entender mejor:  

https://www.youtube.com/watch?v=5xsCX3pMNVA                 

Distribución Binomial :

Definición: 

Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo esta distribución de probabilidad. Imaginemos el lanzamiento de una moneda en el que definimos el suceso “sacar cara” como el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos (sacar cara) que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.

Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria.

como ponerlo en practica:

-Sea un experimento aleatorio en el que sólo puedan darse dos posibilidades: que ocurra un determinado suceso A, que llamaremos éxito, o que no ocurra dicho suceso, o sea que ocurra su complementario, que llamaremos fracaso, A".

-Se conoce la probabilidad de ocurrencia del suceso A, y por lo tanto la de su complementario:

-Se repite el experimento n veces en las mismas condiciones (independencia). Se define la variable aleatoria Binomial.

X: “nº de veces que ocurre el suceso A (nº éxitos) en n realizaciones independientes del experimento”;  Por lo tanto, X: 0, 1, 2 , 3, ……n.

Ejemplo:

 un 80% de personas en el mundo han visto el partido de la final del último mundial de futbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto?

Definamos las variables del experimento:

n    = 4 (es el total de la muestra que tenemos)

x    = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.

p    = probabilidad de éxito (0,8)

q    = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.

Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.

El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto el resultado del factorial sería 24/6=4.

Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).

Por tanto nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos hayan visto el partido de la final del mundial.

 La media y la varianza:

media:

varianza:

Ejemplo:

Diez individuos, cada uno de ellos propenso a la tuberculosis, entran en contacto con un portador de la enfermedad. La probabilidad de que la enfermedad se contagie del portador a un sujeto cualquiera es de 0.1. ¿Cuántos se espera que contraigan la enfermedad? 

Solución: X → B (10; 0.1)→E(X )=10x0.1=1

a continuación un vídeo que podría ayudar a entender la teoría: 

https://www.youtube.com/watch?v=B0eTD4fu-3Q