Distribución Binomial :
Definición:
Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo esta distribución de probabilidad. Imaginemos el lanzamiento de una moneda en el que definimos el suceso “sacar cara” como el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos (sacar cara) que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.
Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria.
como ponerlo en practica:
-Sea un experimento aleatorio en el que sólo puedan darse
dos posibilidades: que ocurra un determinado suceso A, que
llamaremos éxito, o que no ocurra dicho suceso, o sea que
ocurra su complementario, que llamaremos fracaso, A".
-Se conoce la probabilidad de ocurrencia del suceso A, y
por lo tanto la de su complementario:
-Se repite el experimento n veces en las mismas
condiciones (independencia). Se define la variable aleatoria
Binomial.
X: “nº de veces que ocurre el suceso A (nº éxitos) en n
realizaciones independientes del experimento”; Por lo tanto, X: 0, 1, 2 , 3, ……n.
Ejemplo:
un 80% de personas en el mundo han visto el partido de la final del último mundial de futbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto?
Definamos las variables del experimento:
n = 4 (es el total de la muestra que tenemos)
x = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.
p = probabilidad de éxito (0,8)
q = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.
Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.
El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto el resultado del factorial sería 24/6=4.
Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).
Por tanto nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos hayan visto el partido de la final del mundial.
La media y la varianza:
media:
varianza:
Ejemplo:
Diez individuos, cada uno de ellos propenso a la
tuberculosis, entran en contacto con un portador de la
enfermedad. La probabilidad de que la enfermedad se
contagie del portador a un sujeto cualquiera es de 0.1.
¿Cuántos se espera que contraigan la enfermedad?
Solución: X → B (10; 0.1)→E(X )=10x0.1=1
a continuación un vídeo que podría ayudar a entender la teoría:
Hay que tener en cuenta que todas estas distribuciones trabajan con variables aleatorias, así que aclaremos primero quienes son:
ResponderEliminarSe llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral {E} un número real.
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.
También existen distintos tipos de variables aleatorias.
La variable aleatoria discreta, este tipo de variable solo puede tomar un número finito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.
Ejemplo:
El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.
Y por ultimo, La variable aleatoria continua que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.
Ejemplos:
La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.
barbara delgado: las propiedades de esta distribucion son:
ResponderEliminar-En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
-La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara es constate.
-La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
-El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.
-Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz.
-La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p). n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.
La distribución binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo:
ResponderEliminar– Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos sólo la posibilidad de éxito o fracaso.
– La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones. Siendo p la probabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso ( q=1-p)
Una distribución binomial es el que tiene estas cinco características:
ResponderEliminar1. El experimento consiste en n intentos idénticos.
2. Cada intento resulta en uno de dos resultados. Por falta de un mejor nombre, el resultado uno se llama éxito, S, y el otro se llama fracaso, F.
3. La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a p y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a (1 - p) = q.
4. Los intentos son independientes.
5. Estamos interesados en x, el número de éxitos observado durante los n intentos, para x = 0, 1, 2, …, n.
A menudo las medidas de control de calidad y los esquemas de muestreo para procesos se basan en la distribución binomial, la cual se aplica en cualquier situación industrial donde el resultado de un proceso es dicotómico y los resultados del proceso son independientes, y además la probabilidad de éxito se mantiene constante de una prueba a otra. La distribución binomial también se utiliza mucho en aplicaciones médicas y militares. En ambos casos un resultado de éxito o de fracaso es importante. Por ejemplo, la importancia del trabajo farmacéutico radica en poder determinar si un determinado fármaco “cura” o “no cura”; mientras que si se está probando la eficacia al lanzar un proyectil el resultado se interpretaría como “dar en el blanco” o “fallar”.